308.
| На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?
Предупреждение
Указание
Ответ
|
Предупреждение.
Части не обязательно одинаковые. Ответ 12 (=НОК[3,4]) неверен.
|
|
|
Указание.
Если торт разрезан на 5 частей и эти части розданы поровну троим,
то хотя бы одному из троих досталась всего лишь одна часть. В таком случае
эта часть составляет 1/3 торта. Поскольку
1/3 > 1/4,
то в рассматриваемом случае торт нельзя поровну раздать четверым.
|
|
|
Ответ.
На 6 частей, а именно: три четверти и ещё три части по 1/12 каждая.
|
|
|
|
309.
| В скачках участвуют три лошади.
Игрок может поставить некоторые (не обязательно одинаковые)
суммы денег на каждую из них. Ставку на первую лошадь
принимают в отношении 1 : 4.
Это означает, что если первой прибежит первая лошадь, то игрок теряет
деньги, поставленные на вторую и третью, но ему возвращают
деньги, поставленные на первую, и ещё четыре раза по столько же.
На вторую лошадь ставки принимают в отношении 1 : 3, а на
третью — 1 : 1. Можно ли поставить деньги
так, чтобы выиграть при любом исходе скачек? (Разумеется, считайте, что
хотя бы одна лошадь прибегает первой: ситуация, когда ни одна из лошадей
не достигает финиша, очевидно проигрышная для игрока и поэтому
её не надо рассматривать.)
Ответ
Решение
|
|
Решение.
Если поставить на первую лошадь 20 копеек,
на вторую — 25, а на третью —
50 копеек, то в любом случае игрок получит
1 рубль, а потратит лишь
20 + 25 + 50 = 95 копеек.
|
|
|
310.
| Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник,
являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника?
Ответ
Указание I
Указание II
Решение
|
|
Указание I.
Четырёхугольник может быть невыпуклым.
|
|
|
Указание II.
На рисунке изображено неверное решение: пересечение изображённых
фигур — треугольника и четырёхугольника —
состоит из двух четырёхугольников, а мы хотим, чтобы оно
было восьмиугольником.
|
|
|
Решение.
|
|
|
|
311.
| а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через
несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал
чётное число ходов.
Указание
|
Указание.
Каждым ходом конь меняет цвет поля: с белого поля идёт на чёрное, а с чёрного —
на белое.
| |
|
б) Из шахматной доски выпилено угловое поле. Может ли конь
обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на исходное поле?
Ответ
Указание
|
|
Указание.
Белых и чёрных полей на доске, из которой выпилили
одно поле, не поровну.
| |
|
в) Может ли конь пройти из левого нижнего угла шахматной доски в
правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?
Ответ
Указание
|
|
Указание. Поскольку число 63 нечётно, конь за 63 хода меняет цвет поля. Но левое нижнее и верхнее правое поля шахматной доски одного цвета (чёрные, хотя это не имеет значения).
| | |
|
312.
| Крест составлен из пяти равных квадратов. Разрежьте его на такие части, из которых можно (без дыр и перекрытий) составить квадрат.
Указание
|
Указание.
| | |
|
|
313.
| Если от некоторого двузначного
числа отнять 2, то результат разделится нацело на 3, а если отнять не 2, а 3,
то разделится не на 3, а на 2. Если к этому
числу прибавить 4, то результат разделится нацело на 5, а если от него отнять 5, то разделится на 4. Более того, если от этого
числа отнять 5, то разделится нацело на 6, а если же от нашего числа отнять 6, то разделится на 5. И это ещё не всё: если к этому замечательному числу прибавить 7, то результат разделится на 8, а если прибавить 8, то разделится на 7.
Что же это за число?
|
314.
| Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.
Намёк
Указание
Ответ
|
Намёк. Многие из искомых чисел равны 1. |
|
|
Указание. Найдите хотя бы одно решение
уравнения 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + x + y = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · x · y.
в натуральных числах.
|
|
|
Ответ. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 и 10.
| |
|
|
315.
|
а) Когда комиссия приехала в больницу, там находились
3 врача и 1996 пациентов. Комиссия попросила каждого указать двух врачей. Каждый врач назвал двух других врачей, а пациенты называли кого угодно. Докажите, что комиссия смогла выявить хотя бы одного пациента.
Подсказка
Решение
|
Подсказка.
Врачи указали друг на друга. Могли ли все пациенты
разбиться на тройки, в каждой
из которых все указали друг на друга?
| |
|
Решение. Если человек не входит в тройку, в которой все указали друг на друга, то он не может быть врачом. Число 1999 не кратно трём. | | |
б) В Конторе работают 200 психически здоровых и 1999 сумасшедших
сотрудников. Однажды каждый сотрудник написал докладную записку,
в которой перечислил 1999 своих коллег, по его мнению,
сумасшедших. Каждый психически здоровый сотрудник верно указал
всех сумасшедших, а каждый сумасшедший мог указать на кого
угодно, кроме себя. Докажите, что на основании этих данных
можно выявить по крайней мере 199 сумасшедших.
Указание
Решение
|
Указание.
Рассортируйте докладные записки на пачки, где указаны одни и те же сотрудники. Письма психически здоровых чекистов окажутся в отдельной пачке.
| |
|
Решение. Рассортируем записки на пачки, собрав вместе те, где указаны одни и те же сотрудники. Выберем пачки, в которых количество записок не кратно числу 200. Поскольку записки здоровых сотрудников оказались в отдельной пачке, а количество всех записок даёт остаток 199 при делении на 200, то в выбранных пачках содержится не менее 199 записок. | | |
|
316.
| По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при
той же скорости уменьшить интервалы на 1/5?
|
317.
| В одной из трёх комнат сидит принцесса, в другой — тигр, а в третьей нет никого. На двери левой комнаты написано: «Тигр в правой комнате», на двери средней: «Левая комната пуста», на двери правой: «Принцесса в средней комнате». Известно, что надпись на двери комнаты, где сидит принцесса, истинна, надпись на двери комнаты, где сидит тигр — ложна, а надпись на двери пустой комнаты может быть как истинной, так и ложной. Где сидит принцесса, а где — тигр?
Ответ
|
Ответ. Принцесса в левой комнате, а тигр в правой.
| | |
|
318.
| Разрежьте изображённую на
рисунке фигуру на а) четыре; б) пять одинаковых частей. (Резать можно не только по сторонам и диагоналям
клеток.)
а) Первый способ
Второй способ
б) Ответ
|
а) Первый способ.
| |
|
а) Второй способ.
| |
|
б) Ответ.
| |
|
|
319.
| Представьте число 203 в виде суммы
нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 203.
Указание
Ответ
|
Указание. Разложите число 203 на множители.
| |
|
Ответ.
203 = 7 · 29 · 1 · ... · 1 (всего 203 - 7 - 29 = 167 единиц).
| | |
|
320.
| Какое наибольшее количество чисел можно выбрать
из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма любых двух выбранных
чисел делилась на 26?
Ответ
Указание
|
|
Указание. Рассмотрите числа, дающие остаток 13 при делении на 26. Поскольку 1963 = 75 · 26 + 13, то таких чисел существует 76 штук. | | |
|